?? 深圳三十五选七走势图:線性代數 - 新加坡幸运28在线计划|王的子妃平特一肖

線性代數 | 行列式的幾何意義

關注數學,關注AI,關注我們公眾號ID:Math-AI

“The purpose of computation is insight, not numbers."

                    -Richard Hamming

計算的目的不在于數字本身,而在于洞察其背后的意義。

                      ——理查德·哈明

我們回到最開始的問題—什么是代數?

在大學數學物理方法基礎課程的緒論中,教材編者為我們介紹了這一背景。

代數的研究對象不僅是數字,?是各種抽象化的結構。實際上,數學上重要的并不是對象,?是對象間的關系。例如?何可以看成是圖形的代數,?代數也不外是符號的?何。故此,代數被定義為對各種集合的元素施?代數運算的科學。

因此我們利用幾何理解代是逼近代數本質的一種途徑。

行列式(determinant)

行列式的定義

什么是行列式?在丘維聲《高等代數》中給出了n階行列式的定義:

定義(n階行列式)

n階行列式

是n!項的代數和,其中每一項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積,把這n個元素按照行指標成自然序排好位置,當列指標所成排列是偶排列時,該項帶正號;奇排列時,該項帶符號,即

其中

是n元排列,

表示對所有n元排列求和。

我認為這個定義更像是生物學中常用的定義法,看完定義我有一種云里霧里的感覺(翻了很多書和課件,大部分書中甚至連定義都沒提),對行列式并沒有什么更深的認識,只是大概有個印象:它是一堆數排列成矩形,是一個數值。

我們希望做的是把行列式形象化。

線性變換與行列式

在上一篇推文中,我們已經了解了線性變換的幾何意義。有的線性變換將空間向外拉伸,有的線性變換將空間向內擠壓。由此我們引出一個問題——如何度量一個線性變換將空間拉伸或擠壓了多少呢?更具體一點,就是測量一個給定面積(或者是體積,或者是一個表示大小的什么積,這和維度[dimension]有關)增大或縮小的比例。

比如說一個矩陣

,將它在坐標系上表示,它在

方向上的長度為3,在

方向上的長度為2,則該矩陣形成的平行四邊形面積為3×2=6,即把原來單位矩陣組成的小正方形面積擴大了6倍。

同時我們發現行列式

的值就是6?。。?!66666(這并不是偶然,大家用線性變換的方式思考一下行列式就明白了)

再來看以下圖片上的幾個例子(我就不打字了,吐槽一下vx編輯無法使用LaTex只能將公式打好再一個個截圖T T)

這時候問題又來了,面積是正數,而行列式有正有負有零,這要怎么理解呢?

→ 變換之前,

的左側,若行列式的值為負,則變換后

的右側,可以想象成,把二維坐標翻轉了(簡單地說,就是把紙翻過來了)

讓我們來重新定義行列式:

線性變換改變面積的比例,稱為這個變換的行列式。

這是二維/二階行列式(兩個并不等價,只是這樣寫方便理解)的情況。那么在三維空間中呢?

  • 在三維空間中,行列式代表平行六面體的體積,而加負號則代表從坐標系從右手系轉換到左手系。

  • 同樣推廣到更n階行列式,行列式代表n維空間的大小,而負號代表n維空間的翻轉。

行列式的值等于0又代表什么呢?

以三階行列式為例,它代表三維空間被壓縮成一個平面,甚至壓縮成一個點。這時我們說,行列式的行(row)或列(column)是線性相關的。這也很好解釋我們在有的課本上學到的:數域K上n級矩陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0

END

免責聲明:本文僅代表文章作者的個人觀點,與本站無關。其原創性、真實性以及文中陳述文字和內容未經本站證實,對本文以及其中全部或者部分內容文字的真實性、完整性和原創性本站不作任何保證或承諾,請讀者僅作參考,并自行核實相關內容。

//image99.pinlue.com/thumb/img_jpg/5Gkhxiao5IoJQrzVdOhDNZem2TFkK4gtdjzXcpiawog7htnOHUwjIqpIKLTrzicgpGCp70fRl1W4Wd8OFQADqBw0g/0.jpeg
我要收藏
贊一個
踩一下
分享到
相關推薦
精選文章
?
分享
評論
新加坡幸运28在线计划